千禧年大奖难题又称为世界七大数学难题。由美国克雷数学研究所在2000年5月公布。任何一个问题的解答，只要发表在数学期刊，并经过两年的验证，即奖励一百万美元。千禧年问题之一，即NS方程解的存在性和光滑性。  

           

难题一：NS方程的 
      
对于流体而言，Navier-Stokes方程可能产生令人难以置信的结果。克雷数学研究所认为通过理解NS方程本身可以加深对自然界广泛存在的流体奥秘加深理解，也可以对混沌的湍流的理解起重要的推动作用。

NS方程是Navier以及Stokes在200年前分别推导的，二者前后大约距离23年。目前NS方程被大量的用于模拟空气、洋流、血液和黏液等流体。

问题在于，从来没有人能够证明该方程不会发生blow up现象并产生物理上不会产生不可能的结果。普林斯顿数学研究所的Fefferman这样表示：

      流体在自然科学与工程中非常重要，但人们对它知之甚少。

相关的证明可以改善飞机和船只的设计，提高天气预报准确度。哥伦比亚大学的数学家Smith说：

      这是我研究过的最美丽的问题，它拓宽了我的眼界，让我能够欣赏真实世界的方方面面。

来自民间的证明

2006年，位于宾夕法尼亚州的Penny将一个所谓的NS方程的解发布到arXiv上，该解答方案在博客和网络论坛上引起了热烈讨论。然后后来证明该解答方案是错误的。2013年，致力于研究该方程30年的哈萨克斯坦科学院的成员Otelbaev在前一年的《Russian-language Mathematical Journal》发表了一个初步的证明，这引起国际数学界的注意。当年，Otelbaev已经71岁。

面对如此重大的突破，一些数学家，包括正在研究这个问题的加州大学的陶哲轩，都在网络上试图验证Otelbaev的结果。
不幸的是，大约一个月后，他们发现了一个错误，哥伦比亚大学的Smith对该解答方案的质疑引起了Otelbaev的注意。

      令我尴尬的是，第56页的不等式(6.34)是错误的，因此不能证明命题6.3(第54页)的准确性，我很抱歉，”

Otelbaev在给Smith的电子邮件中写道。Otelbaev曾经对Nature期刊的编辑回复说：

      我在一个计算该抽象定理的环节中没有使用正确的公式，导致随后的计算都是错误的。”

不过，Otelbaev并没有放弃。就在一个多星期以前，他说自己希望尽快发表一份新的修正过的证明过程：

      我现在正在修正这个错误，并希望在大约三个月内有一份完整的、重写过的证明过程。”

Smith对此持谨慎态度：

      大多数数学家认为，像Otelbaev正在尝试的那种一般性方法是行不通的。”

著名数学家陶哲轩表示，据他所知，

      除了Otelbaev本人，没有人会继续这场争论了。”

如果Otelbaev确实纠正了他的证明，他也不能立刻获得这笔奖金。因为克莱数学研究所规定这项研究必须在两年内不受质疑，才能被考虑，而且必须发表在“世界知名”的杂志上。该研究所拒绝向Nature期刊透露最新进展。迄今为止，只有一个千禧年大奖难题得到了官方认可的正式解答。那就是在2002年，俄罗斯数学家Perelman证明了庞加莱猜想，但拒绝接受100万美元奖金。这背后是怎样的故事？

 难题二：庞加莱猜想 

在上个世纪90年代，拓扑学家对庞加莱猜想的研究虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因此发展出了低维拓扑学这门学科。一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而，因为它是几何拓扑研究的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。这时，事情出现了转机。Smale在60年代初想到了一个天才的主意：

     如果三维的庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？

1960年到1961年，在里约热内卢的海滨，经常可以看到一个人，手持草稿纸和铅笔，对着大海思考。他，就是Smale。1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，Smale公布了自己对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明，立时引起轰动。斯梅尔由此获得数学界的最高荣誉：荣获菲尔兹奖（1966）。1983年，美国数学家Freedman将证明又向前推动了一步。在Smale工作的基础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，也因此获得菲尔茨奖。但是，再向前推进的工作，又停滞了。无人能够触及三维庞加莱猜想的证明。无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。

     
确凿的证明

2002年11月，俄罗斯数学家Perelman在arxiv上发表的一篇文章，给三维庞加莱猜想的证明带来了转机。Perelman的方法在于使用Ricci flow来进行证明。与直接的拓扑学方案相比，这个方案似乎更可行。此事震惊整个数学界。专家们认为，这一难题的解决很可能在物理和其他领域上得到“激动人心”的应用，有助于科学家弄清楚宇宙的形状。数学界经过反复的检查，最终认为他的证明没错。

当时Perelman的这部分工作，并没有有任何的基金支持。Perelman在自己发表在arxiv上的文章中也表示：

     多亏我之前在库朗研究所呆的时候，自己存了一些钱，我才能进行这样的研究。

Perelman也不打算将他的证明发表在任何同行评审的数学杂志上。在将文章挂到arxiv之后，之后他通过电子邮件把文章摘要发送给在美国的一些数学家，包括哈密尔顿，田刚和丘成桐。之前他没有同任何人讨论过这篇文章，Perelman说：

     我不想同我不信任的人讨论我的工作。

2002年11月19日，几何学家Kapovitch在电子邮件中询问佩雷尔曼：

      我是否理解正确：你在哈密尔顿的纲要中已经可以做足够多的步骤使你能解决几何化猜想？

佩雷尔曼第二天的回答只有一句话：这是正确的。

Perelman在arxiv上面的这篇文章实在是晦涩难懂，很多人联系他索要更详细的证明以及成果。但Perelman对这些置之不理。认为这种伸手党的邮件不需要理会。后来，迫于多方的压力，Perelman在arxiv上面继续刊发了2篇后续的证明研究。
 
     
在Perelman公布他的3篇文章中的第一篇之后近4年，专家们终于达成了共识：佩雷尔曼彻彻底底的解决了庞加莱猜想。自此之后，庞加莱猜想被改为了庞加莱证明。

丘成桐的争议

2006年，在Perelman公布他的3篇文章中的第一篇之后近4年，专家们终于达成了共识：Perelman解决了这个猜想。但这缺触发了一场风波。2003年春天，丘成桐召集朱熹平和他的一个学生曹怀东，承担解释佩雷尔曼的证明的工作。3年后，中国媒体刊发文章，表示该猜想被丘成桐、朱熹平以及曹怀东证明。这是因为在《亚洲数学杂志》上，丘等刊发了一篇300多页的论文，题为《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密尔顿－佩雷尔曼理论的应用》。

然而，在wikki关于庞加莱猜想的介绍中表示。《亚洲数学杂志》编委会的31位数学家曾收到丘成桐的电子邮件，通知他们在3天内对丘成桐打算在杂志上发表的朱熹平和曹怀东的一篇文章发表意见。然而电子邮件并包含这篇文章、甚至连摘要都没有。随后，这篇文章就被接受了。丘成桐自己表示，当时给一些数学家发了审稿意见，包括Perelman，但都没有回复，因此丘成桐就自己审稿了。很多数学家对丘等的庞加莱猜想的工作意见相左。纽约州立大学的Morgan说：

佩雷尔曼已经做了证明，这个证明是完整和正确的。我看不出丘等人做了什么不同的事情。”

直至最后，朱熹平和曹怀东自己都承认他们没有任何新的贡献。

退出

2003年，在Perelman发表了他的研究成果后不久，这位颇有隐者风范的大胡子学者就从人们的视野中消失了。据说他和母亲、妹妹一起住在圣彼得堡市郊的一所小房子里。牛津大学的DuSautoy教授说：

    他对金钱没兴趣。对他来说，最大的奖励就是证明自己的理论。”

国际数学联盟主席Ball曾拜访Perelman，他的唯一目的是说服Perelman接受将在8月份国际数学家大会上颁发的菲尔兹奖。这是数学界的最高荣誉，此前共有44位数学家获此殊荣，没有人拒绝过接受这个荣誉。然而面对Ball教授两天共十个小时的劝说，Perelman的回答只是“我拒绝”。

2010年，Clay研究所认为Perelman破解了千禧年难题，并打算授予其百万美元奖金。然而，Perelman并未出席授奖仪式，也未接受100万美元的奖金。由于Perelman的文章并没有刊发在传统的数学刊物上，该奖金的委员会甚至表示，如果Perelman愿意承担该奖项，他们可以将arXiv预印本文献库提高到与传统出版物相同的地位。Perelman认为千禧年大奖难题应同时授予另一位数学家Hamilton，如果仅仅颁发给自己是不公正的，因此不接受该奖。Perelman自己也承认，他的榜样是Hamilton。Perelman的证明的根基就是 Hamilton的Ricci flow方程。当哥伦比亚大学的Morgan邀请他去演讲时他同意了，因为他希望在那里能见到Hamilton。演讲会在一个星期天早上举行，Hamilton迟到了，并且在会后的讨论和午餐中没有提任何问题。
     
    我的印象是他只读了我的文章的第一部分。

   
Perelman说。